贝克莱悖论指的是在实数集里，存在一些无法用有限项来表示的数，被称为超实数。这些数无法用常规的方式进行计算和运用，因此与整个数学理论产生了矛盾。
为了解决这个悖论，数学家们引入了超限数和ZFC公理系统，通过对数学的严格定义和限制，消除了超实数的矛盾。
具体来说，超限数是一个非常规的概念，它的产生和性质都需要按照一定的规则进行限制和推导，以保证数学理论的完整和统一性。
而ZFC公理系统则是在数学中使用的一种公理体系，它主要依靠公理的严格定义和推导，确保数学中出现的所有概念和结论都是合法的。通过这些方法，数学家们成功地解决了贝克莱悖论，建立了一套完整的数学理论体系。
笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。在微积分当中，无穷小量是在讨论数列、函数的极限、导数等最为基础的概念必不可少的概念。为了避免或者消解悖论，无穷小量并不是一个确定的数值，而是一串无限运算而趋近的量。它永远不可能等于零，但却无限趋向于零。简单来说，就是无穷小的极限就是零。这是贝克莱悖论的由来：1734年，大主教乔治•贝克莱(George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说x2的导数，先将x取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)2 − x2 ，得到2xΔx + (Δx2) ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。